惩罚函数方法通过对不可行解进行惩罚，将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而简化约束处理过程。

惩罚函数方法可以通过静态、动态和自适应策略来平衡目标函数和约束之间的关系。

一、简单原理

简单来说，将原始目标函数和惩罚项组合成适应度函数 F(x)，形式如下： 

1）就是在求目标值(适应度)的时候，同时求一下这个个体是否违反约束，如果违反约束，求一下违反多少

function penalty = evaluatePenalty(x, penalty_factor)
    % 计算罚函数值
    % 初始化罚函数值
    penalty = 0;
    % 约束1：g1(x) = x1^2 + x2^2 - 1 <= 0（圆内）
    g1 = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
    % 约束2：g2(x) = x1 + x2 - 1.5 <= 0（直线下方）
    g2 = x(1) + x(2) - 1.5;
    % 如果违反约束，则累加罚函数值。penalty_factor这里设置的是1000
    if g1 > 0
        penalty = penalty + penalty_factor * g1;
    end
    if g2 > 0
        penalty = penalty + penalty_factor * g2;
    end
end

这里我们的罚函数比较简单，就是 罚函数值 =  约束违反程度 * 罚系数

2）求下一代种群时，通常是取目标值(适应度)最小的前pop_size个

这里我们需要对【目标值+罚函数值】一起排序

function [next_pop, next_obj, next_penalty] = selectNextGeneration(
    combined_pop, combined_obj, combined_penalty, pop_size)
    % 选择下一代种群
    % 初始化下一代种群和目标函数值、罚函数值矩阵
    next_pop = [];
    next_obj = [];
    next_penalty = [];
    
    % 计算每个个体的总目标值（目标函数值加上罚函数值）
    total_obj = sum(combined_obj, 2) + combined_penalty;
    
    % 对总目标值进行排序，选择前pop_size个个体
    [~, sorted_indices] = sort(total_obj); % 升序排序
    
    % 选择前pop_size个个体作为下一代
    selected_indices = sorted_indices(1:pop_size);      % 选择排序后，目标值值最小的前pop_size个
    next_pop = combined_pop(selected_indices, :);       % 获得新种群
    next_obj = combined_obj(selected_indices, :);       % 求目标值(直接从合并里取，下面)
    next_penalty = combined_penalty(selected_indices);  % 求罚函数值
end

二、罚函数类型

惩罚函数方法主要有以下几种类型：

1. 固定惩罚函数（Static Penalty Function）：

   • 惩罚系数在优化过程中保持不变。
   • 优点：实现简单，计算量小。
   • 缺点：惩罚系数难以选择，容易导致搜索过程陷入局部最优解或无法收敛。

2. 动态惩罚函数（Dynamic Penalty Function）：

   • 惩罚系数在优化过程中逐渐增大或减小。
   • 优点：通过动态调整惩罚系数，能够更好地平衡探索与开发，提高搜索效果。
   • 缺点：需要设定合适的动态调整策略，增加了参数选择的复杂性。

3. 自适应惩罚函数（Adaptive Penalty Function）：

   • 惩罚系数根据个体的适应度或种群的进化状态自适应调整。
   • 优点：能够根据优化过程中的情况自适应调整，效果较好。
   • 缺点：实现复杂，需要根据具体问题设定合适的自适应策略。

4. 非线性惩罚函数（Nonlinear Penalty Function）：

   • 惩罚项为非线性函数，如平方惩罚或指数惩罚。
   • 优点：能够更灵活地处理违反约束的解，效果较好。
   • 缺点：需要选择合适的非线性函数形式，增加了参数选择的复杂性。

三、完整代码

function PenaltyFunction_MOO()
    % 参数设置
    pop_size = 100; % 种群规模
    num_generations = 250; % 进化代数
    num_vars = 2; % 决策变量数量
    num_obj = 2; % 目标函数数量
    penalty_factor = 1000; % 罚系数
    lb = [-1, -1]; % 决策变量下界
    ub = [2, 2]; % 决策变量上界

    % 初始化种群
    Population = initPopulation(pop_size, num_vars, lb, ub);

    % 评估种群目标函数值和罚函数值
    [Obj, Penalty] = evaluatePopulationWithPenalty(Population, num_obj, penalty_factor);

    % 进化过程
    for gen = 1:num_generations
        % 选择父代
        Parents = tournamentSelection(Population, Obj, Penalty, pop_size);

        % 交叉和变异生成子代
        Offspring = crossoverAndMutation(Parents, lb, ub);

        % 评估子代目标函数值和罚函数值
        [OffspringObj, OffspringPenalty] = evaluatePopulationWithPenalty(Offspring, num_obj, penalty_factor);

        % 合并种群和子代
        CombinedPop = [Population; Offspring];
        CombinedObj = [Obj; OffspringObj];
        CombinedPenalty = [Penalty; OffspringPenalty];

        % 选择前 N 个个体作为下一代种群
        [Population, Obj, Penalty] = selectNextGeneration(CombinedPop, CombinedObj, CombinedPenalty, pop_size);
    end

    % 绘制Pareto前沿
    plotParetoFront(Obj);
end

function pop = initPopulation(pop_size, num_vars, lb, ub)
    % 初始化种群
    % 使用随机数生成初始种群，每个个体的变量值在上下界之间
    pop = rand(pop_size, num_vars) .* (ub - lb) + lb;
end

function [obj, penalty] = evaluatePopulationWithPenalty(pop, num_obj, penalty_factor)
    % 评估种群目标函数值和罚函数值
    % 初始化目标函数值和罚函数值矩阵
    obj = zeros(size(pop, 1), num_obj);
    penalty = zeros(size(pop, 1), 1);
    for i = 1:size(pop, 1)
        % 计算每个个体的目标函数值
        obj(i, :) = evaluateIndividual(pop(i, :), num_obj);
        % 计算每个个体的罚函数值
        penalty(i) = evaluatePenalty(pop(i, :), penalty_factor);
    end
end

function obj = evaluateIndividual(x, num_obj)
    % 目标函数
    % 初始化目标函数值
    obj = zeros(1, num_obj);
    % 目标函数1：f1(x) = x1^2 + x2^2
    obj(1) = x(1)^2 + x(2)^2;
    % 目标函数2：f2(x) = (x1 - 1)^2 + x2^2
    obj(2) = (x(1) - 1)^2 + x(2)^2;
end

function penalty = evaluatePenalty(x, penalty_factor)
    % 计算罚函数值
    % 初始化罚函数值
    penalty = 0;
    % 约束1：g1(x) = x1^2 + x2^2 - 1 <= 0（圆内）
    g1 = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
    % 约束2：g2(x) = x1 + x2 - 1.5 <= 0（直线下方）
    g2 = x(1) + x(2) - 1.5;
    % 如果违反约束，则累加罚函数值
    if g1 > 0
        penalty = penalty + penalty_factor * g1;
    end
    if g2 > 0
        penalty = penalty + penalty_factor * g2;
    end
end

function parents = tournamentSelection(pop, obj, penalty, pool_size)
    % 锦标赛选择
    % 初始化父代矩阵
    parents = zeros(pool_size, size(pop, 2));
    for i = 1:pool_size
        % 随机选择两个个体
        a = randi(size(pop, 1));
        b = randi(size(pop, 1));
        % 比较两个个体，选择较优者
        if better(a, b, obj, penalty)
            winner = a;
        else
            winner = b;
        end
        % 将较优个体加入父代
        parents(i, :) = pop(winner, :);
    end
end

function better_flag = better(a, b, obj, penalty)
    % 比较两个个体，判断哪个更好
    % 如果两个个体的罚函数值相同，比较目标函数值
    if penalty(a) == penalty(b)
        better_flag = dominates(obj(a, :), obj(b, :));
    else
        % 否则，选择罚函数值较小的个体
        better_flag = penalty(a) < penalty(b);
    end
end

function d = dominates(obj1, obj2)
    % 支配关系判断
    % 如果obj1在所有目标上不劣于obj2，并且在至少一个目标上优于obj2
    d = all(obj1 <= obj2) && any(obj1 < obj2);
end

function offspring = crossoverAndMutation(parents, lb, ub)
    % 交叉和变异操作
    % 初始化子代矩阵
    offspring = zeros(size(parents));
    for i = 1:size(parents, 1)
        % 选择两个父代个体
        parent1 = parents(i, :);
        parent2 = parents(mod(i, size(parents, 1)) + 1, :);
        % 均匀交叉，生成子代
        child = 0.5 * (parent1 + parent2);
        % 变异操作
        mutation_rate = 1 / length(lb);
        for j = 1:length(lb)
            if rand() < mutation_rate
                % 对子代的变量进行变异
                child(j) = lb(j) + (ub(j) - lb(j)) * rand();
            end
        end
        % 将生成的子代加入子代矩阵
        offspring(i, :) = child;
    end
end

function [next_pop, next_obj, next_penalty] = selectNextGeneration(combined_pop, combined_obj, combined_penalty, pop_size)
    % 选择下一代种群
    % 初始化下一代种群和目标函数值、罚函数值矩阵
    next_pop = [];
    next_obj = [];
    next_penalty = [];
    
    % 计算每个个体的总目标值（目标函数值加上罚函数值）
    total_obj = sum(combined_obj, 2) + combined_penalty;
    
    % 对总目标值进行排序，选择前pop_size个个体
    [~, sorted_indices] = sort(total_obj); % 升序排序
    
    % 选择前pop_size个个体作为下一代
    selected_indices = sorted_indices(1:pop_size);
    next_pop = combined_pop(selected_indices, :);
    next_obj = combined_obj(selected_indices, :);
    next_penalty = combined_penalty(selected_indices);

    % % 选择前pop_size个个体作为下一代
    % for i = 1:pop_size
    %     next_pop = [next_pop; combined_pop(sorted_indices(i), :)];
    %     next_obj = [next_obj; combined_obj(sorted_indices(i), :)];
    %     next_penalty = [next_penalty; combined_penalty(sorted_indices(i))];
    % end
end

function plotParetoFront(obj)
    % 绘制Pareto前沿
    figure;
    scatter(obj(:, 1), obj(:, 2), 'filled');
    title('Pareto Front');
    xlabel('Objective 1');
    ylabel('Objective 2');
    grid on;
end